Квантовый вентиль

Квантовый вентиль (квантовый логический элемент) — это базовый элемент квантового компьютера, преобразующий входные состояния кубитов на выходные по определённому закону. Отличается от обычных логических вентилей тем, что работает с кубитами. Квантовые вентили в отличие от многих классических всегда являются обратимыми.

Так как кубит можно представить вектором в двумерном пространстве, то действие вентиля можно описать унитарной матрицей, на которую умножается соответствующий вектор состояния входного кубита. Однокубитные вентили описываются матрицами размера 2 × 2, двухкубитные — 4 × 4, а n-кубитные — 2ⁿ × 2ⁿ.

Примеры квантовых вентилей

Простейшие однокубитовые вентили:

• Тождественное преобразование:

$\sigma _{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$

• Отрицание (вентиль Паули X):

$NOT=X=\sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

• Вентиль Паули Y:

$Y=\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}$

• Фазовый сдвиг (вентиль Паули Z):

$Z=\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

• Преобразование Адамара:

$H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}$

Также возможны вентили, имеющие два входа (и два выхода, так как количество входов и выходов у квантовых вентилей должно совпадать в силу требования унитарности):

• Контролируемое U (C-U). Суть контролируемого U заключается в том, что на первый вход подаётся управляющий кубит, а на второй — управляемый. Если управляющий кубит равен единице, над управляемым проводится операция U, а если нулю — тождественное преобразование (кубит подается на выход без изменений). Если матрица U имеет вид

$U={\begin{bmatrix}x_{00}&x_{01}\\x_{10}&x_{11}\end{bmatrix}}$,

тогда матрица преобразования C-U выглядит так:

$\operatorname {C} (U)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&x_{00}&x_{01}\\0&0&x_{10}&x_{11}\end{bmatrix}}$

• Контролируемое отрицание (C-NOT). В этом случае $U=\sigma _{1}$ и матрица преобразования имеет вид:

$CNOT={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}$

• Контролируемое Z. В этом случае $U=\sigma _{3}$ и матрица преобразования имеет вид:

$CZ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}$

• Обмен:

$SWAP={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

Важными 3-х кубитными вентилями являются:

• вентиль Тоффоли (Toffoli, часто CCNOT) — является универсальным. Может быть реализован на C-NOT и однокубитных вентилях. Похож по алгоритму работы на CNOT, но обращает значение последнего бита только если два первых входа равны единице. В противном случае все входы подаются на выход неизменными.
• вентиль Фредкина (англ. Fredkin gate, часто CSWAP) — также универсален. Если первый вход установлен, переставляет значения кубитов со входов 2 и 3. Иначе все три кубита остаются без изменений.

Универсальные квантовые вентили

Набор квантовых вентилей называют универсальным, если любое унитарное преобразование можно аппроксимировать с любой заданной точностью конечной последовательностью вентилей из этого набора. Иными словами, универсальные квантовые вентили являются генераторами группы унитарных матриц. Можно доказать, что набор, состоящий из вентиля C-NOT и всех однокубитных вентилей, является универсальным. Возможны и другие универсальные наборы.

Реализация

В 2022 г. сотрудниками НИТУ МИСиС и МФТИ был разработан сверхпроводниковый квантовый чип, позволяющий реализовать операцию CZ с точностью свыше 97%. Микросхема состоит из 5 зарядовых кубитов, из которых для реализации CZ использовалось лишь 4. Выполнение одной логической операции длится 0,025 мкс, что позволяет за время существования квантового состояния выполнить более 3200 операций.

Ссылки

• Chapter 2 Quantum Gates Архивная копия от 24 сентября 2015 на Wayback Machine из C.P. Williams, «Explorations in Quantum Computing», Texts in Computer Science // Springer-Verlag, 2011, ISBN 978-1-84628-887-6, doi:10.1007/978-1-84628-887-6_2 стр 51-122 (англ.)
• Yoshihisa Yamamoto, Chapter 3 Quantum gates of «AP 226: Physics of Quantum Information», Lecture Notes // Stanford, Winter 2009 (англ.)
• Dieter Suter, Joachim Stolze, Chapter 5: Complete set of quantum gates (слайды) из Quantum Computing WS // Technischen Universität Dortmund 2009—2010 (англ.)
• Markus Schmassmann, [1] Архивная копия от 4 января 2015 на Wayback Machine // QSIT-Course, ETH Zürich, 17. Oktober 2007 (англ.)